Равенство многочленов, совпадающих как функции

Пусть $\mathbb{F}$ - бесконечное поле и $f, g \in \mathbb{F}[x]$. Если $\forall{x} \in \mathbb{F}\mathpunct{:}~~ f(x) = g(x)$, тогда $f$ и $g$ равны как многочлены.

Пусть $\deg{f} \geq \deg{g}$. Если $\deg{f} = -\infty$, то $f$ и $g$ нулевые и совпадают. Пусть $\deg{f} = n \geq 0$ Выберем точки $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n+1} \in \mathbb{F}$, тогда $f(x_{i}) = g(x_{i})$. Значит $f$ и $g$ интерполяционные многочлены для набора из $n + 1$ точек, следовательно $f$ и $g$ совпадают из единственности интерполяционного многочлена степени не выше $n$. $\square$